B Funktioner

En funktion, eller en afbildning, f:X→Yf : X \rightarrow Y mellem to mængder XX og YY er, løst sagt, en måde, hvorpå man til ethvert element xx i XX kan tilknytte et element f(x)f(x) i YY. Elementet f(x)f(x) kaldes for billedet af xx under funktionen ff, og vi skriver
x↦f(x).(B.1) x \mapsto f(x). \tag{B.1}
Mængden XX kaldes for domænet for ff, mens YY kaldes for kodomænet. Delmængden f(X)f(X) af kodomænet YY bestående af alle elementer på formen f(x)f(x), for x∈Xx \in X, kaldes for billedet af ff. Mere generelt anvendes følgende begreber:
[Billeder og urbilleder] Lad f:X→Yf : X \rightarrow Y betegne en funktion, og lad X′X' og Y′Y' betegne delmængder af hhv. XX og YY. Så:
  1. Billedet f(X′)f(X') af X′X' under ff defineres som delmængden af YY bestående af alle elementer på formen f(x)f(x), for x∈X′x \in X'.
  2. Urbilledet f−1(Y′)f^{-1}(Y') af Y′Y' under ff defineres som delmængden af XX bestående af alle elementer xx med f(x)∈Y′f(x) \in Y'.

Betragt funktionen
f:R→Rx↦x2\begin{aligned} f: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto x^2 \end{aligned}
Angiv de korrekte udsagn.
f([0,1])=[0,1]f([0,1])=[0,1]
f−1([0,1])=[0,1]f^{-1}([0,1])=[0,1]
f−1([0,1])=[−1,1]f^{-1}([0,1])=[-1,1]
f−1({25})={−5,5}f^{-1}(\{25\}) =\{-5, 5 \}
f({−5,5,7})={25,49}f(\{-5,5,7\})=\{25, 49\}
f−1({−1})=∅f^{-1}(\{-1\})=\emptyset
[Identitetsafbildningen] Lad XX betegne en mængde. Funktionen IdX:X→X{\rm Id}_X : X \rightarrow X, defineret ved
IdX(x)=xfor alle x∈X, (B.2) {\rm Id}_X(x) = x \quad \text{for alle } x \in X \text{, } \tag{B.2}
kaldes for identitetsafbildningen på XX.
Hvis man udover f:X→Yf : X \rightarrow Y også har givet en funktion g:Y→Zg : Y \rightarrow Z, så kan man herudfra definere en ny funktion, som betegnes med g∘f:X→Zg \circ f : X \rightarrow Z, og som kaldes sammensætningen af gg og ff. Sammensætningen af gg og ff er defineret ved
(g∘f)(x)=g(f(x))for alle x∈X. (B.3) (g \circ f)(x) = g(f(x)) \quad \text{for alle } x \in X \text{. } \tag{B.3}
En fundamental egenskab ved sammensætninger af funktioner er, at det er en associativ konstruktion. Hermed menes følgende udsagn:
[Den associative lov for sammensætning af funktioner] Lad f:X→Yf : X \rightarrow Y, g:Y→Zg : Y \rightarrow Z og h:Z→Vh : Z \rightarrow V betegne funktioner. Så
h∘(g∘f)=(h∘g)∘f.(B.4) h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f. \tag{B.4}

Bevis

Udsagnet følger, idet
h((g∘f)(x))=h(g(f(x)))=(h∘g)(f(x)),(B.5) h \bigl( (g \circ f) (x) \bigr) = h\bigl(g(f(x))\bigr) = (h \circ g) ( f(x)), \tag{B.5}
for alle x∈Xx \in X.
[Injektivitet, surjektivitet og invertibilitet] En funktion f:X→Yf : X \rightarrow Y kaldes
  1. injektiv, hvis f(x)=f(x′)f(x) = f(x'), for x,x′∈Xx,x' \in X, implicerer at x=x′x=x'.
  2. surjektiv, hvis f(X)=Yf(X) = Y.
  3. invertibel, eller bijektiv, hvis der eksisterer en afbildning f~:Y→X\tilde f : Y \rightarrow X så:
    f∘f~=IdY og f~∘f=IdX.(B.6) f \circ \tilde f = {\rm Id}_Y \quad \text{ og } \quad \tilde f \circ f = {\rm Id}_X. \tag{B.6}
    I givet fald kaldes f~\tilde f også for den inverse funktion til ff og betegnes f−1f^{-1}.

Betragt funktionen
f:R→Rx↦x3\begin{aligned} f: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto x^3 \end{aligned}
Angiv de korrekte udsagn.
ff er injektiv
ff er surjektiv
ff er bijektiv
ff er invertibel med invers f−1(x)=x3f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}
Det indses let, at en funktion f:X→Yf : X \rightarrow Y er invertibel, hvis og kun hvis funktionen både er injektiv og surjektiv. I givet fald vil ethvert element yy i YY være tilknyttet præcist et element fra XX; dvs. y=f(x)y=f(x) for præcist et element xx i XX. Med andre ord så definerer en invertibel funktion f:X→Yf : X \rightarrow Y en 1-1 korrespondance mellem elementerne i hhv. XX og YY.
Såfremt en funktion er invertibel, så er den tilsvarende inverse funktion entydigt bestemt.

Bevis

Antag at g,h:Y→Xg, h : Y \rightarrow X begge er inverse til f:X→Yf : X \rightarrow Y. Så
g=IdX∘g=(h∘f)∘g=h∘(f∘g)=h∘IdY=h,(B.7) g = {\rm Id}_X \circ g = (h \circ f) \circ g = h \circ (f \circ g) = h \circ {\rm Id}_Y = h, \tag{B.7}
hvor den midterste lighed følger fra den associative regel Sætning B.3.
Lad f:X→Yf : X \rightarrow Y og g:Y→Zg : Y \rightarrow Z betegne invertible funktioner. Så er sammensætningen g∘f:X→Zg \circ f : X \rightarrow Z også invertibel med invers
(g∘f)−1=f−1∘g−1.(B.8) (g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}. \tag{B.8}

Bevis

Udsagnet følger ved anvendelse af Sætning B.3 og følgende beregninger
(f−1∘g−1)∘(g∘f)=((f−1∘g−1)∘g)∘f=(f−1∘(g−1∘g))∘f=(f−1∘IdY)∘f=f−1∘f=IdX,\begin{aligned} ( f^{-1} \circ g^{-1} ) \circ (g \circ f) & = ((f^{-1} \circ g^{-1}) \circ g) \circ f \\ & = (f^{-1} \circ (g^{-1} \circ g) ) \circ f \\ & = (f^{-1} \circ {\rm Id}_Y) \circ f \\ & = f^{-1} \circ f \\ & = {\rm Id}_X, \end{aligned}
og
(g∘f)∘(f−1∘g−1)=((g∘f)∘f−1)∘g−1=(g∘(f∘f−1))∘g−1=(g∘IdY)∘g−1=g∘g−1=IdZ.\begin{aligned} ( g \circ f ) \circ (f^{-1} \circ g^{-1}) & = ((g \circ f) \circ f^{-1}) \circ g^{-1} \\ & = (g \circ (f \circ f^{-1}) ) \circ g^{-1} \\ & = (g \circ {\rm Id}_Y) \circ g^{-1} \\ & = g \circ g^{-1} \\ & = {\rm Id}_Z. \end{aligned}

B.1 Polynomier

Vi skal nu beskrive en speciel type af funktioner, kaldet polynomier, der optræder i mange forskellige matematiske sammenhænge. Når man taler om polynomier, så har man på forhånd valgt et legeme F\mathbb{F}. Legemet F\mathbb{F} kan være vilkårligt, men i disse noter vil vi alene definere polynomier over legemer F\mathbb{F}, hvor antallet af elementer i F\mathbb{F} er uendeligt.
[Polynomium] Et afbildning f:F→Ff : \mathbb{F} \rightarrow \mathbb{F} kaldes et polynomium (over F\mathbb{F}), hvis der eksisterer skalarer a0,…,ad∈Fa_0, \ldots, a_d \in \mathbb{F} så
f(x)=a0+a1x+…+adxdfor alle x∈F.(B.9) f(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_d x^d \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F} \text{.} \tag{B.9}
Mængden af polynomier over F\mathbb{F} betegnes i det følgende med P(F)P(\mathbb{F}). Lad n>0n>0 betegne et heltal. Mængden af polynomier over F\mathbb{F} hvor dd, i ovenstående notation, kan vælges <n<n, betegnes med Pn(F)P_n(\mathbb{F}).
Vi vil senere se (se Korollar B.15), at skalarerne a0,a1,…,ada_0,a_1,\ldots,a_d i (B.9) er entydigt bestemte. Faktisk er det netop for at opnå dette resultat, at vi kræver, at F\mathbb{F} er et legeme med uendeligt mange elementer.
  1. For en skalar α∈F\alpha \in \mathbb{F} er funktionen f:F→Ff : \mathbb{F} \rightarrow \mathbb{F} defineret ved f(x)=αf(x) = \alpha, for alle x∈Fx \in \mathbb{F}, et polynomium i P1(F)P_1(\mathbb{F}). Polynomiet ff kaldes for et konstant polynomium. Hvis α=0\alpha=0 kaldes ff for nulpolynomiet.
  2. For en skalar α∈F\alpha \in \mathbb{F} er funktionen f:F→Ff : \mathbb{F} \rightarrow \mathbb{F} defineret ved f(x)=x−αf(x) = x-\alpha, for alle x∈Fx \in \mathbb{F}, et polynomium i P2(F)P_2(\mathbb{F}).
For arbitrære funktioner f,g:F→Ff, g : \mathbb{F} \rightarrow \mathbb{F} definerer vi deres sum og produkt som hhv.
f+g:F→F,x↦f(x)+g(x),\begin{aligned} f + g : \mathbb{F} & \rightarrow \mathbb{F}, \\ x & \mapsto f(x) + g(x), \end{aligned}
og
f⋅g:F→F,x↦f(x)⋅g(x).\begin{aligned} f \cdot g : \mathbb{F} & \rightarrow \mathbb{F}, \\ x & \mapsto f(x) \cdot g(x). \end{aligned}
Betegner α∈F\alpha \in \mathbb{F} herudover en skalar, så kan man multiplicere ff med α\alpha og opnå en funktion:
α⋅f:F→F,x↦α⋅f(x).\begin{aligned} \alpha \cdot f : \mathbb{F} & \rightarrow \mathbb{F}, \\ x & \mapsto \alpha \cdot f(x). \end{aligned}
Vi påstår, at polynomier er stabile overfor disse operationer:
Lad ff og gg betegne polynomier, og lad α∈F\alpha \in \mathbb{F}. Så er f+gf+g, f⋅gf \cdot g og α⋅f\alpha \cdot f også polynomier. Hvis f∈Pd+1(F)f \in P_{d+1}(\mathbb{F}) og g∈Pr+1(F)g \in P_{r+1}(\mathbb{F}), så vil der yderligere gælde, at f⋅g∈Pr+d+1(F)f \cdot g \in P_{r+d+1}(\mathbb{F}), α⋅f∈Pd+1(F)\alpha \cdot f \in P_{d+1}(\mathbb{F}) og f+g∈Pl+1(F)f+g \in P_{l+1}(\mathbb{F}), hvor ll angiver den maksimale værdi af rr og dd.

Bevis

Antag at ff og gg er polynomier givet ved
f(x)=a0+a1x+…+adxdfor alle x∈F,(B.10) f(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_d x^d \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F} \text{,} \tag{B.10}
og
g(x)=b0+b1x+…+brxrfor alle x∈F, g(x) = b_0 + b_1 x + \ldots + b_r x^r \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F} \text{,}
for skalarer a0,a1,…,ad∈Fa_0,a_1,\ldots,a_d \in \mathbb{F} og b0,b1,…,br∈Fb_0,b_1,\ldots,b_r \in \mathbb{F}. Sæt da ai=0a_i=0, for i>di>d, og bj=0b_j=0, for j>rj>r. Da vil
(f+g)(x)=c0+c1x+…+clxlfor alle x∈F, (f+g)(x) = c_0 + c_1 x + \ldots + c_l x^l \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F} \text{,}
hvor ci=ai+bic_i=a_i+b_i, for i=1,2,3,…,li=1,2,3,\ldots,l, og hvor ll betegner den maksimale værdi af dd og rr. Specielt er f+gf+g et polynomium i Pl+1(F)P_{l+1}(F).
Produktet af ff og gg er givet ved
(f⋅g)(x)=∑i=0r+ddixifor alle x∈F,(B.11) (f \cdot g)(x) = \sum_{i=0}^{r+d} d_i x^i \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}, \tag{B.11}
hvor
di=∑j=0iajbi−jfor i=0,1,2,…,r+d.(B.12) d_i = \sum_{j=0}^i a_j b_{i-j} \quad \text{for } i=0,1,2,\ldots, r+d \text{.} \tag{B.12}
Specielt er f⋅g∈Pd+r+1(F)f \cdot g \in P_{d+r+1}(\mathbb{F}). At indse at α⋅f∈Pd+1(F)\alpha \cdot f \in P_{d+1}(\mathbb{F}) overlades til læseren.
Et polynomium ff over F\mathbb{F} defineret ved
f(x)=a0+a1x+a2x2+…+adxdfor alle x∈F, f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_d x^d \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F} \text{,}
betegnes til tider blot med notationen
a0+a1X+a2X2+…+adXd.(B.13) a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \ldots + a_d X^d. \tag{B.13}
Såfremt
g=b0+b1X+…+brXr g = b_0 + b_1 X + \ldots + b_r X^r
også betegner et polynomium over F\mathbb{F}, så skriver vi også
(a0+a1X+…+adXd)⋅(b0+b1X+…+brXr),(B.14) (a_0 + a_1 X + \ldots + a_d X^d) \cdot (b_0 + b_1 X + \ldots + b_r X^r), \tag{B.14}
om produktet f⋅gf \cdot g af ff og gg. Det bemærkes, at hvis vi regner på udtrykket (B.14), som om at XX er et element i F\mathbb{F}, så vil resultatet
c0+c1X+…+clXl c_0 + c_1 X + \ldots + c_l X^l
være et udtryk tilsvarende (B.13), og faktisk gælder der, at
f⋅g=c0+c1X+…+clXl.(B.15) f \cdot g= c_0 + c_1 X + \ldots + c_l X^l. \tag{B.15}
Denne påstand er næsten oplagt, og beviset herfor overlades til læseren. Tilsvarende bemærkninger gør sig gældende for addition og skalarmultiplikation.
[Rødder til polynomier] Lad ff betegne et polynomium over F\mathbb{F}. En skalar α∈F\alpha \in \mathbb{F} kaldes for en rod til F\mathbb{F}, såfremt f(α)=0f(\alpha) = 0.

Betragt det reelle polynomium
f(x)=x2−9x+18for alle x∈R. f(x) = x^2 - 9 x + 18 \quad \text{for alle } x \in \mathbb{R} \text{.}
Angiv de korrekte udsagn.
33 er en rod til ff
−3-3 er en rod til ff
66 er en rod til ff.
33 og 66 er de eneste rødder til ff.
Lad f∈Pd+1(F)f \in P_{d+1}(\mathbb{F}), med d>0d>0, betegne et polynomium, og lad α∈F\alpha \in \mathbb{F} betegne en rod i ff. Så eksisterer der et polynomium g∈Pd(F)g \in P_{d}(\mathbb{F}), så
f(x)=(x−α)g(x),(B.16) f(x)= (x-\alpha) g(x) , \tag{B.16}
for alle x∈Fx \in \mathbb{F}.

Bevis

Vi antager, at ff er beskrevet ved
f(x)=a0+a1x+…+adxdfor alle x∈F, f(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_d x^d \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F},
og argumenterer via induktion i dd. Hvis d=1d=1, så er
0=f(α)=a0+a1α, 0= f(\alpha) = a_0 + a_1 \alpha,
og dermed er a0=−a1αa_0 = - a_1 \alpha. Specielt er
f(x)=a0+a1x=−a1α+a1x=(x−α)a1=(x−α)g(x), f(x) = a_0 + a_1 x = -a_1 \alpha + a_1 x = (x-\alpha) a_1 = (x-\alpha) g(x),
såfremt vi sætter gg lig det konstante polynomium med værdi a1a_1.
Antag herefter, at d>1d > 1, og at udsagnet er vist for polynomier i Pd(F)P_d(\mathbb{F}). Lad hh betegne polynomiet
h(x)=ad(x−α)xd−1=−adαxd−1+adxdfor alle x∈F. h(x) = a_d (x-\alpha) x^{d-1} = - a_d \alpha x^{d-1} + a_d x^d \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}.
Betragt da polynomiet f~\tilde f defineret ved
f~(x)=f(x)−h(x)=a0+a1x+…+ad−2xd−2+(ad−1+adα)xd−1for alle x∈F. \tilde f (x) = f(x) - h(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_{d-2} x^{d-2} + (a_{d-1}+a_d \alpha) x^{d-1} \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}.
Det bemærkes, at
f~(α)=f(α)−h(α)=0−0=0,(B.17) \tilde f( \alpha) = f(\alpha) - h(\alpha) =0 - 0 = 0, \tag{B.17}
og at f~∈Pd(F)\tilde f \in P_{d}(\mathbb{F}). Pr. induktion eksisterer der derfor et polynomium g~∈Pd−1(F)\tilde g \in P_{d-1}(\mathbb{F}), så
f~(x)=(x−α)g~(x)for alle x∈F. \tilde f (x) = (x-\alpha) \tilde g(x) \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}.
Vi konkluderer, at
f(x)=f~(x)+h(x)=(x−α)g~(x)+ad(x−α)xd−1=(x−α)(g~(x)+adxd−1), f(x) = \tilde f (x) + h(x) = (x-\alpha) \tilde g(x) + a_d (x-\alpha) x^{d-1} = (x-\alpha) ( \tilde g(x) + a_d x^{d-1}),
og det ønskede er opnået med polynomiet beskrevet ved
g(x)=g~(x)+adxd−1for alle x∈F, g (x) = \tilde g(x) + a_d x^{d-1} \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F},
i Pd(F)P_d(\mathbb{F}).
Lad f∈Pd+1(F)f \in P_{d+1}(\mathbb{F}) betegne et polynomium forskelligt fra nulpolynomiet. Så er antallet af rødder til ff mindre end eller lig dd.

Bevis

Vi argumenterer via induktion i dd. Hvis d=0d=0, så er ff et konstant polynomium forskellig fra nulpolynomiet. Specielt har ff ingen rødder.
Antag nu, at d>0d>0, og at udsagnet er vist i tilfældet d−1d-1. Hvis ff ikke har rødder, så er udsagnet klart. Antag derfor, at ff har en rod α\alpha, og vælg på grundlag af resultatet i Lemma B.12 et polynomium g∈Pd(F)g \in P_{d}(\mathbb{F}), så identiteten
f(x)=(x−α)g(x), f(x) = (x-\alpha) g(x),
er opfyldt for alle x∈Fx \in \mathbb{F}. Idet gg ikke kan være nulpolynomiet uden at ff også er nulpolynomiet, så vil gg pr. induktion højst have d−1d-1 rødder. Derudover så vil enhver rod β∈F\beta \in \mathbb{F} til ff opfylde
0=f(β)=(β−α)g(β), 0 = f(\beta) = (\beta - \alpha) g(\beta),
og β\beta er derfor nødvendigvis enten lig α \alpha eller en rod for gg. Vi konkluderer, at rødderne til ff forskellige fra α\alpha skal findes blandt de maksimalt d−1d-1 rødder til gg. Dermed er antallet af rødder til ff maksimalt lig dd som ønsket.
Lad a0,a1,…,ad∈Fa_0,a_1,\ldots,a_d \in \mathbb{F} betegne skalarer, og lad f∈P(F)f \in P(\mathbb{F}) betegne polynomiet givet ved
f(x)=a0+a1x+…+adxdfor alle x∈F.(B.18) f(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_d x^d \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}. \tag{B.18}
Hvis ff er nulpolynomiet, så er
a0=a1=a2=…=ad=0. a_0 = a_1 = a_2 =\ldots=a_d=0.

Bevis

Idet ff er nulpolynomiet, så vil
a0=f(0)=0. a_0 = f(0) = 0.
Hvis d=0d=0, så er beviset afsluttet. Ellers defineres g∈Pd−1(F)g \in P_{d-1}(\mathbb{F}) som polynomiet
g(x)=a1+a2x+…+adxd−1for alle x∈F, g(x) = a_1 + a_2 x + \ldots + a_d x^{d-1} \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F},
og vi bemærker, at
f(x)=xg(x)for alle x∈F. f(x) = x g(x) \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}.
Det følger, at hvis α∈F\alpha \in \mathbb{F}, så vil
0=f(α)=αg(α), 0 = f(\alpha) = \alpha g(\alpha),
og dermed må alle elementer i F∖{0}\mathbb{F} \setminus \{ 0 \} være rødder til gg. Men F\mathbb{F} er antaget at indeholde uendeligt mange elementer, og dermed har gg uendeligt mange rødder. Dette er, jf. Proposition B.13, kun muligt, hvis gg er nulpolynomiet. Vi konkluderer dermed pr. induktion (anvendt på gg), at
a1=a2=a3=…=ad=0, a_1 = a_2 = a_3 =\ldots=a_d=0,
og det ønskede er opnået.
Ovenstående resultat viser, at nulpolynomiet kun kan repræsenteres ved koefficienter a0,…,ada_0,\ldots,a_d som i (B.18), der alle er nul. Tilsvarende gælder der:
Lad f∈P(F)f \in P(\mathbb{F}) betegne et polynomium over F\mathbb{F} givet ved
f(x)=a0+a1x+…+adxdfor alle x∈F,(B.19) f(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_d x^d \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}, \tag{B.19}
for skalarer a0,a1,…ad∈Fa_0,a_1,\ldots a_d \in \mathbb{F} med ad≠0a_d \neq 0. Så er dd samt skalarerne a0,a1,…,ad∈Fa_0,a_1,\ldots,a_d \in \mathbb{F} entydigt bestemte ud fra ff.

Bevis

Antag at ff, udover (B.19), også kan beskrives ved
f(x)=b0+b1x+…+brxrfor x∈F, f(x) = b_0 + b_1 x + \ldots + b_r x^r \quad \text{for } x \in \mathbb{F},
for skalarer b0,b1,…,br∈Fb_0,b_1,\ldots,b_r \in \mathbb{F} med br≠0b_r \neq 0. Sæt ai=0a_i=0 for i>di>d og bj=0b_j=0 for j>rj>r, og definer polynomiet g:F→Fg : \mathbb{F} \rightarrow \mathbb{F} ved
g(x)=(a0−b0)+(a1−b1)x+⋯+(al−bl)xl, g (x) = (a_0-b_0) + (a_1-b_1) x + \cdots +(a_l - b_l) x^l,
hvor ll er et heltal større end både dd og rr. Så er
g(x)=f(x)−f(x)=0for alle x∈F, g(x) = f(x) -f(x) = 0 \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F},
nulpolynomiet, og dermed er
ai=bifor i=1,2,…,l, a_i = b_i \quad \text{for } i=1,2,\ldots,l,
jf. Korollar B.14.
Entydigheden af skalarerne a0,a1,…,ada_0,a_1,\ldots, a_d i (B.19) gør, at vi kan definere graden af et polynomium (forskellig fra nulpolynomiet).
[Graden af et polynomium] Lad ff betegne et polynomium over F\mathbb{F} forskellig fra nulpolynomiet. Antag at
f(x)=a0+a1x+…+adxdfor alle x∈F. f(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_d x^d \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}.
med ad≠0a_d \neq 0. Graden deg⁡(f)\deg(f) defineres da som tallet dd.
Såfremt F\mathbb{F} er et endeligt legeme, så gælder ovennævnte resultater ikke. Hvis f.eks. F=F2={[0],[1]}\mathbb{F}=\mathbb{F}_2 = \left\{ [0],[1] \right\} (jf. Eksempel A.3 (b.)), så vil afbildningen f:F2→F2f : \mathbb{F}_2 \rightarrow \mathbb{F}_2 defineret ved
f(x)=x−x2=x(1−x)for alle x∈F2, f(x) = x-x^2 = x(1-x) \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}_2,
være lig nulpolynomiet (idet 0=020=0^2 og 1=121=1^2). Specielt vil man ikke kunne give mening til graden af ff på samme måde, som når F\mathbb{F} indeholder uendeligt mange elementer.
For et polynomium ff forskellig fra nulpolynomiet, så antages det fremover implicit, at en opskrivning som i (B.9) opfylder, at ad≠0a_d \neq 0. Specielt er graden af ff lig dd.
Som en konsekvens af formlerne (B.11) og (B.12) så bemærkes det:
Lad ff og gg betegne polynomier forskellig fra nulpolynomiet. Så er produktet f⋅gf \cdot g forskellig fra nulpolynomiet, og
deg⁡(f⋅g)=deg⁡(f)+deg⁡(g). \deg (f \cdot g ) = \deg(f) + \deg(g).
Vi er nu klar til at studere rodbegrebet nærmere:
Lad ff betegne et polynomium forskelligt fra nulpolynomiet, og lad α1,α2,…,αl∈F\alpha_1, \alpha_2, \ldots,\allowbreak \alpha_l \in \mathbb{F} betegne de (forskellige) rødder i ff. Så findes der entydigt bestemte naturlige tal m1,m2,…,mlm_1,m_2, \ldots,\allowbreak m_l og et polynomium hh, så
  1. f(x)=h(x)(x−α1)m1(x−α2)m2⋯(x−αl)mlf(x) = h(x) (x-\alpha_1)^{m_1} (x-\alpha_2)^{m_2} \cdots (x-\alpha_l)^{m_l} for alle x∈Fx \in \mathbb{F}.
  2. hh har ingen rødder i F\mathbb{F}.

Bevis

Vi viser først, at der eksisterer naturlige tal m1,m2,…,mlm_1,m_2,\ldots,m_l, så (1.) og (2.) er opfyldt. Vi argumenterer via induktion i d=deg⁡(f)d=\deg(f). Tilfældet d=0d=0 er oplagt, og overlades til læseren. Antag derfor, at d≥1d \geq 1, og at eksistensen er vist for polynomier af grad ≤d−1\leq d-1. Hvis ff ikke har rødder, så kan (1.) og (2.) oplagt opfyldes (sæt h=fh=f), og vi kan derfor antage, at ff har mindst en rod α1\alpha_1. Vha. Lemma B.12 lader vi nu gg betegne et polynomium, så
f(x)=(x−α1)g(x)for alle x∈F. f(x) = (x-\alpha_1) g(x) \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}.
Induktionsantagelsen kan da anvendes på gg. Så lad β1,…,βs\beta_1, \ldots, \beta_s betegne de forskellige rødder til gg. Der eksisterer da naturlige tal n1,n2,…,nsn_1,n_2,\ldots,n_s og et polynomium hh uden rødder, så
g(x)=h(x)(x−β1)n1(x−β2)n2⋯(x−βs)nsfor alle x∈F. g(x) = h(x) (x-\beta_1)^{n_1} (x-\beta_2)^{n_2} \cdots (x-\beta_s)^{n_s} \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}.
Specielt er
f(x)=h(x)(x−α1)1(x−β1)n1(x−β2)n2⋯(x−βs)ns(B.20) f(x) = h(x) (x-\alpha_1)^1 (x-\beta_1)^{n_1} (x-\beta_2)^{n_2} \cdots (x-\beta_s)^{n_s} \tag{B.20}
for alle x∈Fx \in \mathbb{F}. Det er nu oplagt, at β1,…,βs\beta_1,\ldots, \beta_s samt α1\alpha_1 er rødderne til ff, og ved at samle identiske faktorer i (B.20), så ses eksistensen af den ønskede opspaltning af ff.
Vi mangler nu kun at vise entydigheden af tallene m1,…,mlm_1,\ldots,m_l og polynomiet hh. Antag derfor, at vi også har en opspaltning
f(x)=h~(x)(x−α1)m1′(x−α2)m2′⋯(x−αl)ml′for alle x∈F. f(x) = \tilde h(x) (x-\alpha_1)^{m_1'} (x-\alpha_2)^{m_2'} \cdots (x-\alpha_l)^{m_l'} \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}.
for naturlige m1′,m2′,…,ml′m_1',m_2',\ldots,m_l', og et polynomium h~\tilde h uden rødder. Vi viser først, at mi=mi′m_i=m_i', for i=1,2,…,li=1,2,\ldots,l, og kan pr. symmetri nøjes med at betragte ligheden m1=m1′m_1=m_1'. Faktisk kan vi pr. symmetri nøjes med at vise, at m1′≤m1m_1' \leq m_1. Så antag, m1′>m1m_1' > m_1, og definer polynomierne
q(x)=h(x)(x−α2)m2⋯(x−αl)mlfor alle x∈F,(B.21) q(x) = h(x) (x-\alpha_2)^{m_2} \cdots (x-\alpha_l)^{m_l} \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}, \tag{B.21}
og
q~(x)=h~(x)(x−α2)m2′⋯(x−αl)ml′for alle x∈F.(B.22) \tilde q(x) = \tilde h(x) (x-\alpha_2)^{m_2'} \cdots (x-\alpha_l)^{m_l'} \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}. \tag{B.22}
Vi har da, for alle x∈Fx \in \mathbb{F}, at
0=f(x)−f(x)=(x−α1)m1q(x)−(x−α1)m1′q~(x)=(x−α1)m1(q(x)−(x−α1)m1′−m1q~(x)).\begin{aligned} 0 & = f(x) - f(x) \\ & = (x-\alpha_1)^{m_1} q(x) - (x-\alpha_1)^{m_1'} \tilde q(x) \\ & = (x-\alpha_1)^{m_1} \left( q(x) - (x-\alpha_1)^{m_1'-m_1} \tilde q(x) \right). \end{aligned}
Men et produkt af to polynomier kan kun være nul hvis en af polynomierne er nul (jf. Lemma B.18), og dermed må
q(x)=(x−α1)m1′−m1q~(x)for alle x∈F. q(x) = (x-\alpha_1)^{m_1'-m_1} \tilde q(x) \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}.
Specielt er
q(α1)=0m1′−m1q~(α1)=0, q(\alpha_1) = 0^{m_1'-m_1} \tilde q(\alpha_1) = 0,
hvilket er i umuligt ifølge definitionen (B.21) af qq.
Vi konkluderer dermed, at mi=mi′m_i=m_i' for alle i=1,2,…,li=1,2,\ldots,l. Specielt gælder der, for alle x∈Fx \in \mathbb{F}, at
0=f(x)−f(x)=(x−α1)m1(x−α2)m2⋯(x−αl)ml(h(x)−h~(x)),\begin{aligned} 0 & = f(x) - f(x) \\ & = (x-\alpha_1)^{m_1} (x-\alpha_2)^{m_2} \cdots (x-\alpha_l)^{m_l} \left(h(x) - \tilde{h}(x)\right) , \end{aligned}
hvorfra vi slutter, at h=h~h=\tilde{h}, jf. Lemma B.18, som ønsket.
På baggrund af ovenstående resultat definerer vi nu:
[Multipliciteter af rødder] Lad ff betegne et polynomium forskellig fra nulpolynomiet, og lad α1,…,αl∈F\alpha_1,\ldots,\alpha_l \in \mathbb{F} betegne de forskellige rødder til ff. Det naturlige tal mim_i, for i=1,2,…,li=1,2, \ldots,l, der optræder i Sætning B.19, kaldes for multipliciteten af roden αi\alpha_i. En skalar α∈F\alpha \in \mathbb{F} som ikke er rod i ff, kaldes for en rod af multiplicitet 00.

Betragt det reelle polynomium
f(x)=x2−2x+1for alle x∈R. f(x) = x^2 - 2 x + 1 \quad \text{for alle } x \in \mathbb{R} \text{.}
Angiv de korrekte udsagn.
−1-1 er en rod til ff af multiplictet 00
11 er en rod til ff af multiplicitet 11
11 er en rod til ff af multiplicitet 22
−1-1 er en rod til ff af multiplictet 11
I praksis behøver man ikke at bestemme den totale opspaltning af ff, som angivet i Sætning B.19, for at bestemme multipliciteten af en rod α\alpha. En lille justering af beviset for Sætning B.19 viser, at hvis
f(x)=(x−α)mq(x)for alle x∈F. f(x) = (x-\alpha)^m q(x) \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}.
hvor mm betegner et naturligt tal, og qq betegner et polynomium med q(α)≠0q(\alpha) \neq 0, så er mm lig multipliciteten af roden α\alpha. Detaljerne overlades til læseren.